Manejo de errores

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Con demasiada frecuencia veo personas hacer cuentas y arrojar resultados con una cantidad ridícula de cifras significativas, sin comprender qué es la precisión o la certidumbre, ni por supuesto cómo gestionar el error. Por eso me he sentido obligado a escribir un poco sobre el tema, de forma llana, sin profundizar en definiciones, estadística o epistemología, para que sea asequible a cualquier lector.
En primer lugar, aunque parezca obvio, recordar que el error es inevitable. No hablo siquiera de errores humanos, de diseño, de ejecución, sistemáticos, de interpretación… Hoy sólo voy a tratar errores en las medidas. No existe ningún instrumento absolutamente preciso. Una buena regla laser, por ejemplo, puede dar precisiones de una parte en un millón. Esto significa que, para distancias en torno al metro, podemos confiar en el valor hasta la micra. ¡Pero no más allá! Dicha regla no nos va a dar medidas fiables con más de seis cifras. Por supuesto, se pueden construir instrumentos más precisos, pero siempre existirá el error. Por otro lado, incluso un mismo instrumento nos puede arrojar distintos valores. Siguiendo el ejemplo anterior, variaciones imperceptibles en el uso de la regla producen resultados diferentes. En este caso, se puede tomar muchas medidas y usar la media. El error entonces depende de cómo estén de dispersos los datos y su cantidad. A más muestra, el error será menor, pero nuevamente es imposible reducirlo a cero.
Asumiendo por tanto que toda medida tiene un error, estamos obligados a su mención. Si afirmo que un objeto pesa 7700 gramos, sin más, no estoy proporcionando una información útil. Quizás pesa 7700g, o 7701g, o 7700,5g. Incluso 8000g sería un valor compatible. Es necesario por tanto indicar de alguna forma nuestra confianza, la precisión de la medida, y esto se hace expresando el error. Siguiendo el mismo ejemplo, hay un abismo entre decir que un objeto pesa 7700±400g, o que pesa 7700±1g. En el primer caso, el error es del 5%, algo muy impreciso; en el segundo, sólo de un 0,01%. A diferencia de lo que muchos piensan, de esta forma no se indica un margen en el que tiene que estar forzosamente el valor verdadero. Normalmente significa que la probabilidad de que esté dentro ronda el 68%. Así, cuando nos digan que algo mide v±e, tenemos una confianza del 68% de que el valor real está entre v-e y v+e. Si el lector quiere más seguridad, no debe preocuparse, esto suele también implicar que tenemos una seguridad del 99,7% de que lo que queremos medir está entre v-3e y v+3e.
A tenor de lo anterior, no tiene sentido tampoco que expresemos más cifras de las significativas. Decir que una habitación mide 32,87±2m2 es inapropiado, puesto que no podemos confiar en medidas inferiores a dos metros cuadrados. Lo correcto sería redondear, cortar hasta donde tenemos seguridad, y expresar la superficie como 33±2m2. En ocasiones, para abreviar, se omite el error dando por entendido que ya hemos hecho esta operación. Así, cuando decimos que la densidad del cobre es 8,96g/cm3 se quiere expresar que es 8,96±1g/cm3.
Hasta aquí hemos hablado de la expresión del error, pero también hay que tenerlo presente en las operaciones. Imaginad que soldamos 10 barras de 3,5±0,1m de largo. Tenemos claro que obtendremos una de en torno a 35m. ¿Pero con qué error? Sin entrar en demostraciones matemáticas, las reglas de la propagación de errores son:

  • En sumas y restas, el error total es la suma de todos los errores.
  • En multiplicaciones y divisiones, el error total es la suma de los errores, pero en proporción.

En el ejemplo anterior, el error será diez veces el de una barra, ya que sumamos la longitud de todas estas. Una vez soldadas, medirán 35±1m. También podemos ver la operación como un producto: (35±e)m=10·(3,5±0,1m). En este caso, puesto que el número 10 no tiene error (no es una medida, sino una constante), el cálculo que haríamos sería e/35=0,1/3,5. Se obtiene el mismo resultado.
Para acabar, quiero proponer un ejemplo. Queremos medir la diferencia de presión entre dos puntos (parte inferior y superior de un tanque, o impulsión y aspiración de una bomba, por ejemplo). Y podemos hacerlo de dos formas: con un transmisor de presión diferencial o con dos transmisores de presión absoluta. Suponiendo que el error es en ambos casos ±0,01bar, ¿qué método es mejor? Cuando usamos dos transmisores, el resultado final procede de la resta de dos medidas, y según lo que hemos dicho los errores se han de sumar. La operación arroja un error entonces de ±0,02bar, el doble. Además, tendríamos problemas relacionados con el ajuste de ambos. Por eso, aunque el coste fuese el mismo, deberíamos desaconsejar esta instalación y optar por un único transmisor de presión diferencial.

Puente de Wheatstone

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Los convertidores de señal analógica a digital, como los que tienen transmisores o controladores, trabajan usualmente con tensiones. Esto significa que cuando se requiere medir otra magnitud eléctrica es preciso transformarla a voltaje. El caso de la intensidad (una señal de 4 a 20mA por ejemplo) es trivial: se sitúa una resistencia en serie y se evalúa en sus extremos. Más interesante es la medida de una magnitud que se expresa como resistencia, como sucede con muchos sensores de temperatura, peso, deformación, etc. Para ello se recurre a un circuito eléctrico denominado puente de Wheatstone:

Puente de Wheatstone
Puente de Wheatstone

Esta construcción es esencialmente dos parejas de resistencias en serie, conectadas en paralelo. Se alimentan con una tensión V1 y se mide la diferencia de potencial, V2 entre los puntos medios de unión. Es fácil calcular que:
V_2=V_1(\frac{R_x}{R_2+R_x}-\frac{R_3}{R_1+R_3})
Es decir, cuando las resistencias no están balanceadas se obtiene una diferencia de potencial V2. Gracias a esta medida, y suponiendo conocidas R1, R2 y R3, es directo deducir el valor de Rx. Una estrategia habitual es que tengan igual valor (R=R1=R2=R3), y se simplifica:
V_2=\frac{V_1}{2}\frac{R_x-R}{R_x+R}
O bien
R_x=R\frac{V_1+2V_2}{V_1-2V_2}
A la tensión V1 se la suele llamar excitación, y V2 es la señal medida.

Sensor RTD
Sensor RTD

Podemos encontrar esta construcción, por ejemplo, en la electrónica asociada a un detector de temperatura resistivo (RTD). El equipo de medida (termostato, tarjeta…) contiene tres de las cuatro resistencias del puente de Wheatstone. La cuarta es el propio sensor. En la práctica, hay que alterar ligeramente el circuito, puesto que los cables de conexión ofrecen una resistencia adicional que es necesario substraer cuando se hace significativa. Para ello se emplean configuraciones a tres y cuatro hilos. Los termistores, que también expresan las variaciones de temperatura como cambios de resistencia, utilizan el mismo sistema.

Galga extensiométrica
Galga extensiométrica

Otros sensores que se expresan como resistencia son las galgas extensiométricas. En su forma más básica son simplemente un alambre muy fino dispuesto sobre una lámina. Su recorrido se retuerce a modo de rejilla para extenderse a lo largo de una misma dirección. Debido a esto la resistencia que ofrece es muy sensible a estiramientos: se alarga la longitud del hilo y su sección disminuye. Las galgas nos permiten medir de forma directa deformaciones. Pero indirectamente se usan para evaluar esfuerzos, presiones, pesos, torsiones, tensión, etc. Para traducir estas magnitudes a voltaje es preciso usar un puente de Wheatstone, semejante al que hemos visto, donde el sensor ocupa la posición Rx.
Un ejemplo sencillo de este tipo de sensores lo constituyen las células o celdas de carga. Se ubican en los soportes de tanques, silos, básculas, plataformas, etc. con el objetivo de medir su peso. Internamente suelen contener una galga, cuya resistencia varía en función del peso que soportan debido, como se ha dicho, a la deformación del material. El mismo esquema se emplearía para medir cualquier otro tipo deformación en una dirección: extensiones, compresiones, etc.

Célula de carga
Célula de carga

Pero el uso de las galgas se puede extender a deformaciones en varias direcciones. La medida de un esfuerzo de flexión, por ejemplo, se puede llevar a cabo comparando las deformaciones de los lados interno y externo de la pieza. Para ello podemos emplear dos galgas. Y aunque nada nos impide usar dos puentes de Wheatstone, la construcción se puede resumir en uno solo, como se ve en el esquema siguiente:

Flexión (sensorland.com)
Flexión (sensorland.com)

De forma similar, para evaluar una torsión podemos usar cuatro galgas extensiométricas. En este caso, reemplazan al completo las cuatro resistencias del puente de Wheatstone. Cuando se produce este tipo de deformación, dos de las galgas se contraen y dos se estiran. Con una torsión en sentido opuesto, sucede a la inversa. Esto hace que la tensión V2 sea positiva o negativa según el esfuerzo sea a izquierdas o derechas.

Torsión (shpice.wordpress.com)
Torsión (shpice.wordpress.com)

Como se ve, son muchos los posibles usos de este circuito. Para terminar, me gustaría comentar que insertando bobinas o condensadores puede también emplearse para medida de impedancias.

Medida de nivel (2)

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Esta entrada es continuación de Medida de nivel (1).

Interruptores de nivel

  • Flotador. Este tipo de sensores está formado por una boya con densidad intermedia entre la fase líquida y la gaseosa. Se fija en la posición adecuada permitiéndole libertad de giro. Cuando el agua lo cubre, lo voltea, y abre o cierra su interruptor mecánico, que puede hacer contacto mediante un objeto, mercurio o un sistema más complejo (óptico, magnético…).

    Flotador
    Flotador
    Flotador (contacto)
    Flotador (contacto)

    Una variante son los flotadores magnéticos. El principio es similar: una boya que admite desplazamiento vertical, y que contiene un imán cuya acción cierra un contacto.

    Flotador magnético
    Flotador magnético
  • Membrana o varilla. En los interruptores de diafragma o varilla, cuando el nivel los cubre, el material presiona el elemento y se cierra un contacto interno. Este tipo de niveles permiten la medida de materiales sólidos.

    Membrana
    Membrana

    Varilla
    Varilla
  • Varilla u horquilla vibrante. Otra forma de medir niveles apta para sólidos es mediante una varilla vibrante. Estos sensores contienen típicamente dos materiales piezoeléctricos, como el cuarzo. Uno de ellos transforma una corriente eléctrica en una vibración con la frecuencia natural del sensor, que cambia cuando éste está sumergido. El segundo transforma las vibraciones en corriente y permite detectar el nivel.

    Varilla vibrante
    Varilla vibrante
  • Rotativo. Otro tipo de sensores que aprovechan la fricción los interruptores de paletas rotativas. Éstas giran a baja velocidad gracias a un motor. Al ser cubiertas por el material, quedan inmovilizadas, lo que hace que sea el soporte el que gire en sentido contrario. Con ello se presiona el interruptor, que además apaga el motor para evitarle daños.

    Rotativo
    Rotativo
  • Capacitivo. Cualquiera de los principios que se expusieron para los transmisores es válido para fabricar un interruptor. Menciono expresamente los capacitivos porque su construcción y tamaño son muy diferentes. Están formados por dos conductores que hacen las veces de placas de un condensador. Cuando los cubre un elemento con constante dieléctrica superior al aire, cambia su capacitancia, lo que permite la detección.

    Capacitivo
    Capacitivo
  • Condutivo. Están formados por un par de electrodos que, al entrar en contacto con un líquido conductor, permiten el paso de corriente.

    Conductivo
    Conductivo
  • Óptico. Los interruptores ópticos más usados aprovechan el cambio del índice de refracción del medio para la detección. Cuando los cubre el agua, la luz deja de reflejarse y un fotodiodo corta el paso de corriente.

    Óptico
    Óptico

    Óptico (esquema)
    Óptico (esquema)

Indicadores de nivel

Por último, quiero hacer un vuelo breve sobre los indicadores. Como es obvio, los más simples son de tipo visual: basta una regla graduada en el mismo borde del tanque a medir. Cuando no se puede acceder al interior, se suele habilitar un bypass que permite observar la columna de líquido en un tubo de cristal.

Regla
Regla
Bypass
Bypass

Una variante son los indicadores de nivel magnéticos, que facilitan la visualización, especialmente cuando puede haber condensación. Dentro del tubo se introduce un flotador con un aro de imanes, y en su exterior se disponen rodillos también con imanes que giran al paso del flotador y muestran el nivel en diferente color.

Magnético
Magnético

Por último, otro conjunto de indicadores, con muchas variantes, emplea flotadores y cables o palancas para transmitir su altura sobre una regla situada en el exterior.

Indicador
Indicador