Consumos en un sistema desequilibrado

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A diferencia de otras veces, hoy quería presentar la resolución de un caso práctico. La situación de estudio es un armario eléctrico que alimenta varios receptores en circunstancias de desequilibrio. Concretamente se trata de resistencias de caldeo, que se conectan entre fase y neutro o entre dos fases. El objetivo es el estudio del consumo máximo, que sólo se alcanzaría en una circunstancia excepcional, puesto que la instalación cuenta con controladores de temperatura que hacen que en un instante determinado únicamente una fraccion de receptores se encuentren alimentados. Tal situación se podría dar, por ejemplo, si se energiza el cuadro después de un periodo prolongado durante el que se han enfriado considerablemente los equipos. Estas circunstancias deberían confluir además con otros condicionantes, pero no es objeto de esta entrada detallar el proceso al que sirven.
Además de la asunción antedicha, se van a llevar a cabo varias simplificaciones. Las cargas se van a considerar puramente resistivas, lo que es bastante realista. La instalación cuenta con algunos transformadores monofásicos, pero al ser pocos y pequeños su efecto en este sentido es despreciable. A propósito, puesto que por cuestiones operativas las medidas de intensidad se han llevado a cabo en los secundarios, la intensidad está traducida a los primarios a efectos de cálculos. Despreciando pérdidas, la operación consiste tan solo en multiplicar por la relación de transformación.
Otra asunción, más discutible en este caso, es que las intensidades son siempre constantes. Las medidas se han llevado a cabo con los receptores calientes. En la situación hipotética descrita de energización tras una parada prolongada, la temperatura sería menor, y así la resistencia, por lo que el consumo aumentaría.
Anotar que si se midiesen resistencias en los extremos, en lugar de intensidades, como se ha hecho, habría que considerar además la que ofrece el propio cable de alimentación.
Por último, apuntar que era complejo disponer de algunas de las medidas. En estos casos, se ha recurrido a cálculos teóricos basados en los datos de instalación. Con todo ello, se ha elaborado una tabla con las intensidades de todos los receptores, unos 200 en total. Se pueden agrupar según su conexionado sumando las intensidades (las resistencias en paralelo se sustituirían por su equivalente), y los datos para nuestro cálculo son entonces los siguientes:

Esquema
Esquema
Conexión Intensidad
RN 92A
SN 118A
TN 86A
RS 61A
ST 57A
TR 32A

Como es habitual, los voltajes son de 400V entre fases, y 230V con neutro. Los valores sugieren que estamos en una situación clara de desequilibrio, máxime cuando en circunstancias normales la acción de los controladores va a variar estas cargas de manera impredecible. Al considerar receptores puramente resistivos, los cálculos son más sencillos, pero en cualquier caso debemos recurrir a variable compleja para conocer las intensidades totales que circulan por cada fase, y para ello debemos entender bien la orientación de los vectores que estamos sumando. La siguiente imagen muestra el diagrama de fases para los voltajes, con el neutro en el origen y una de las fases alineada con las abcisas:

Fases
Fases
Los voltajes entre fase y fase se obtienen restando vectores, como se muestra en la siguiente figura:
Diferencia de voltajes
Diferencia de voltajes
Haciendo la misma operación con las demás fases y llevando todos los voltajes al origen de coordenadas, obtenemos el diagrama fasorial de las tensiones, que se encuentran equilibradas por proceder de una fuente ideal.
Diagrama de voltajes
Diagrama de voltajes
Pues bien, puesto que en el circuito de estudio los consumos se han considerado puramente resistivos, las intensidades se encuentran alineadas con las tensiones, y es sencillo representarlo en un diagrama semejante. Si no fuese el caso, y hubiese reactiva, bastaría girar los vectores el ángulo correspondiente, en el sentido de las agujas de reloj si la carga fuese inductiva, y contrario si fuese capacitiva.
Diagrama de intensidades
Diagrama de intensidades
Ahora, con los ángulos correctamente representados, es fácil calcular cuánto contribuye a cada línea los consumos entre fases:
 I_{FF,R}=I_{RS}-I_{TR}=61A\angle30^o-32A\angle150^o=82A\angle10^o\\  I_{FF,S}=I_{ST}-I_{RS}=57A\angle-90^o-61A\angle30^o=102A\angle-121^o\\  I_{FF,T}=I_{TR}-I_{ST}=32A\angle150^o-57A\angle-90^o=78A\angle111^o\\

Se hace notar que, aun trabajando con cargas resistivas, si éstas son desiguales y están conectadas entre fases, además de una situación de desequilibrio, se generan reactancias monofásicas. Con los datos previos calculados, las intensidades totales por fase son la suma de los valores previos más las debidas a las conexiones entre fase y neutro:
I_{R}=I_{FF,R}+I_{FN,R}=82A\angle10^o+92A\angle0^o=173A\angle5^o\\  I_{S}=I_{FF,S}+I_{FN,S}=102A\angle-121^o+118\angle-120^o=220A\angle-120^o\\  I_{T}=I_{FF,T}+I_{FN,T}=78A\angle111^o+86A\angle120^o=163A\angle116^o\\

Diagrama fasorial
Diagrama fasorial
Como se puede observar, la fase S tiene un consumo mucho mayor que sus compañeras. Las secciones y protección del cuadro se han dimensionado para admitir 250A. Se recuerda aquí que las medidas de consumo se efectuaron con las resistencias ya caldeadas, y éste sería mucho mayor si estuvieran en frío. Con ánimo de cuantificar esta influencia, y dar una noción de su importancia, señalar que en el caso del cobre el consumo se duplica ante una disminución de temperatura de 250ºC. Aunque la hipótesis inicial de que todas las cargas consuman simultáneamente no se corresponde a una situación al uso, podría darse en circunstancias de una parada prolongada, agravado por la baja resistividad que se ha comentado. De ello se deduce una recomendación operativa: dado este escenario, no se debe energizar el cuadro eléctrico con todas las cargas conectadas, sino que éstas habrían de introducirse progresivamente conforme los traceados alcancen su temperatura de consigna.
Como segunda conclusión, anotar que se cuenta con escaso margen de ampliación, si fuese necesario. Dado el caso, ésta debería llevarse a cabo a través de las fases R y T, para intentar equilibrar las cargas y no agravar más el exceso de consumo en la fase S. Una recomendación adicional es distribuir más uniformemente las resistencias conectadas a este armario.
Por último, mencionar que las exposición que se ha realizado hasta aquí presupone que nuestro neutro procede de la estrella del secundario del transformador que alimenta al cuadro. En caso de que esto no fuera así, porque tuviésemos por ejemplo una configuración en triángulo, tendríamos un neutro ficticio que no tiene por qué ocupar la posición del origen de coordenadas. Para expresarlo de forma gráfica, nuestro esquema de voltajes original podría tener una forma tal que la siguiente:
Desequilibrio sin neutro
Desequilibrio sin neutro
Es obvio que en estas circunstancias toda la argumentación que se ha dado deja de ser válida. El cálculo sigue siendo sencillo, pero en este caso tenemos que recurrir a la transformación de impedancias entre fase y neutro en impedancias entre fases:
Z_{RS}=Z_{R}+Z_{S}+\frac{Z_{R} \cdot Z_{S}}{Z_{T}}\\  Z_{ST}=Z_{S}+Z_{T}+\frac{Z_{S} \cdot Z_{T}}{Z_{R}}\\  Z_{TR}=Z_{T}+Z_{R}+\frac{Z_{T} \cdot Z_{R}}{Z_{S}}\\

Puesto que trabajamos con resistencias puras, estas impedancias no tienen parte compleja y el cálculo se lleva fácilmente a intensidades. Dejo al lector comprobar que los totales son:
I_{RS}=123A\\  I_{ST}=121A\\  I_{TR}=82A\\  I_{R}=177A\angle34^o\\  I_{S}=177A\angle-96^o\\  I_{T}=179A\angle-157^o\\
Como se observa, al liberar el neutro la tendencia es a disminuir el desequilibrio en el valor de las intensidades (y con ello el exceso comentado de la fase S), y aumentarlo en su ángulo.

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