Desnudando a Maxwell

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La primera vez que viste las ecuaciones de Maxwell te resultaron crípticas. Hermosas por su simetría, valiosas por su elegancia e iluminación, pero altivamente abstractas. Sin embargo, las siguientes visitas demuestran que aquella complejidad era una ilusión: son abstractas, cierto, pero claras y sencillas. Si no has tenido esa segunda oportunidad, te invito a repasarlas.
Antes de entrar en harina, quiero hacer varias consideraciones. En primer lugar, las ecuaciones de Maxwell son una descripción fragmentada de un ente único, que es el campo electromagnético. Por eso, hay que aproximarse a cada igualdad consciente de que sólo nos revela una faceta parcial. En particular, debemos desechar los conceptos independientes de electricidad y magnetismo. No es que estén atados; son una y la misma cosa. De hecho, se podría decir que las ecuaciones de Maxwell existían antes de Maxwell, y su hallazgo fundamental fue reunirlas.
En segundo lugar, se dice que de ellas deriva todo el electromagnetismo. Esta afirmación requiere matices. Sin ir más lejos, no podríamos deducir la ley de Ohm. O la de Hopkinson, su equivalente magnético. Ambas se consideran leyes experimentales, pero son medulares en el desarrollo de circuitos.
Por último, el legado de Maxwell es una teoría clásica, pero en la naturaleza los campos, y en particular el electromagnético, están cuantizados. En contextos muy determinados se dan fenómenos, como el efecto Hall cuántico, o los mismos orbitales atómicos, que no pueden explicarse sin tener esta consideración en cuenta.
Dicho esto, vamos a desnudar el significado de estas ecuaciones. Voy a expresarlas en notación diferencial, por resultar, creo, más intuitiva. E intentaré, sin perder excesiva rigurosidad, explicar lo mejor posible su simbología.

  • Ley de Gauss.

    \nabla\vec{D}=\rho

    Con esta expresión tan sucinta se está indica que las cargas (q) son fuente del campo eléctrico (\vec{E}). Para ser escrupulosos, la expresión que he usado contiene la densidad de carga (\rho) y el desplazamiento eléctrico (\vec{D}), pero esto no desvirtúa el significado. El operador divergencia \nabla apunta a un elemento que está la misma dirección que el vector al que acompaña; referido a un campo, nos habla del origen o destino de su flujo. Mejor dicho, señala la dirección de variación máxima.
    Así, podemos entender que las líneas de campo eléctrico tienen siempre una fuente, a la que llamamos carga. Y será positiva o negativa según la dirección:

    Campo eléctrico
    Campo eléctrico. Fuente: Chanchocan (Wikimedia)
  • Ley de Gauss magnética.

    \nabla\vec{B}=0

    Esta expresión nos introduce un nuevo campo, el magnético (propiamente sería \vec{H}, proporcional a la inducción magnética, \vec{B}). A diferencia la ley anterior, ésta expresa que si seguimos la dirección de variación de sus vectores, no encontramos nada. Sus líneas no tienen origen ni destino, son cerradas. Comúnmente se enuncia diciendo que no existen monopolos magnéticos. Pero sí dipolos, que encauzan este flujo. Me refiero a los imanes:

    Campo magnético
    Campo magnético
  • Ley de Faraday.

    \nabla x\vec{E}=-\frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t}}

    Decía que no se debe entender de forma independiente los campos eléctrico y magnético, así que es preciso describir cómo se relacionan. Esta ecuación liga \vec{E} y \vec{B}, pero contiene un par de signos nuevos que quiero clarificar. El primero es el rotacional (\nabla x), que a pesar de su similitud, no debe confundirse con la divergencia. Aquélla apuntaba en la dirección de cambio lineal de un flujo, éste lo hace perpendicularmente. Expresa el eje de una curva, aquélla hacia la que se tuerce el campo.
    Producto vectorial
    Producto vectorial

    Igual que el rotacional indica cómo varía un campo en el espacio, la derivada parcial (\frac{\partial{}}{\partial{t}}) expresa cómo cambia éste en el tiempo. Éste es el sentido profundo de la ley de Faraday: una alteración del campo magnético (temporal) es igual que una alteración del campo eléctrico (espacial). No quiero decir que lo primero produzca lo segundo, sino que son la misma acción. Cuando aumentamos o disminuimos el campo magnético, retorcemos a la vez el campo eléctrico alrededor del sentido en el que cambia.
    La siguiente animación representa la corriente inducida en una espira, que es la formulación tradicional de la ley de Faraday:
  • Ley de Ampère-Maxwell.

    \nabla x\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial{\vec{D}}}{\partial{t}}

    Nuevamente, que no nos confunda la notación: \vec{H} es proporcional a \vec{B} y \vec{D} es proporcional a \vec{E}. Y \vec{J}… bueno, ahora hablaremos de la corriente de conducción.
    Esta ley es el contrapunto de la anterior, y su parecido formal lo adelanta. Nos dice que una variación (temporal) del campo eléctrico va forzosamente acompañada de una alteración (espacial) del campo magnético. Y como en la ecuación previa, la relación entre ambos vectores es perpendicular.
    Pero hay un componente adicional algo sutil. El campo eléctrico puede variar cuando desplazamos cargas, pero si están dispuestas en una línea infinita, unas vienen a sustituir a otras y parecería que no cambiamos nada. En efecto, \frac{\partial{\vec{D}}}{\partial{t}} sería nulo. El término \vec{J} reacciona a ello: este tipo de movimiento de cargas se denomina corriente de conducción, y el campo magnético también se ve influido por ella.

Para terminar, la aportación de Maxwell venía acompañada de un sorprendente regalo. El campo electromagnético así definido propaga las vibraciones. Si nos empeñamos en discriminar campo eléctrico y magnético, habría que decir que una vibración del primero produce una alteración del segundo, que a su vez modifica al primero. El resultado de esta interacción es una onda que viaja a la mayor velocidad posible. Acabábamos de descubrir la naturaleza de la luz.

Luz
Luz. Fuente: multimedia.biol.uoa.gr

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