De pequeños, en la escuela, se nos enseñan varios tipos de números: los naturales, enteros, racionales, reales, complejos… Tienen propiedades muy similares: todos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. También todos ellos tienen una cantidad infinita de elementos. Pero existen muchas más construcciones que son de sumo de interés. Una parte muy peculiar de las ciencias exactas trabaja lo que se denomina aritmética modular. En el fondo, aunque no la hayamos estudiado, todos la conocemos. Imaginemos unas matemáticas que sólo empleasen un número limitado de números; 24, por ejemplo, desde el cero hasta el 23. Si a este último elemento, el 23, le sumamos uno, volvemos a tener un cero. Y si al cero le restamos uno, tenemos 23. Con este conjunto de números también podemos sumar, resta y multiplicar, pero repito, no son un grupo ilimitado, sino finito. Esta tipo de aritmética fue desarrollada formalmente por el genial Gauss a comienzos del siglo XIX pero, como posiblemente hayáis imaginado, son en el fondo bastante de uso bastante cotidiano.
He introducido, por familiaridad, un sistema de 24 elementos, porque tales son las horas del día. Pero podríamos hablar, por ejemplo, de siete. A los elementos de este conjunto los podemos llamar 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6; o bien lunes, martes, miércoles… Si al día dos le sumamos siete, volvemos a estar en el día dos. Y si le restamos tres, obtenemos el día seis. Para ser más correctos, en este dominio no se habla de igualdad, sino de congruencia. Decimos que dos días son congruentes módulo siete si son el mismo día de la semana, aunque uno sea 21 de febrero y el otro 17 de marzo. De la misma forma, dos horas son congruentes módulo 24 si el reloj nos muestra el mismo número, aunque estemos en días diferentes. Un tipo de aritmética modular muy curioso es la módulo dos. Las clases de congruencia que crea dividen a los números naturales en dos grupos: los pares y los impares. Por supuesto, posee sus reglas aritméticas propias: dos pares suman siempre par; un par y un impar suman impar; el producto de dos pares es par, etc. Se trata de una aritmética de dos elementos: par e impar.
A partir del último ejemplo es fácil comprender por qué a se le denomina modular. El módulo o resto de las divisiones de los números naturales por n da lugar a las diferentes aritméticas modulares. Supongamos que queremos trabajar con un módulo 365. Por simplificar un poco la idea, lo que debemos hacer es efectuar las operaciones de forma habitual, tal y como estamos acostumbrados a hacer con los números naturales, dividir luego por 365 y quedarnos con el resto. El resultado es lo que buscábamos.
Hay una razón para que me extienda sobre esta rama de las ciencias exactas en este blog. Los calendarios trabajan con ciclos. Algunos son impuestos por fenómenos astronómicos, como el ciclo metónico o el calípico. Otros son meramente convenciones resultado de una larga evolución histórica y cultural, como la semana. En cualquier caso, las operaciones matemáticas en dicho marco se efectúan con las herramientas que nos proporciona la aritmética modular. Incluso cuando combinamos dos ciclos, en el fondo se obtiene otro más extenso. Para ser más precisos, su duración viene dada por el máximo común múltiplo de ambos módulos. Pongamos un ejemplo, para entenderlo mejor. El calendario anual, simplificando un poco, se repite cada 365*4+1 días (el día extra es por los bisiestos). Esto son 1461 días. La semana sigue un ciclo de siete. En conjunto, veremos repetirse la coincidencia de fechas y días semanas en el calendario cada 1461*7 días; esto es, cada 10227 días, que son 28 años. Los días de la semana y el año se rigen por una aritmética módulo 10227. En otra ocasión hablaremos de los calendarios perpetuos y habrá oportunidad de extenderse sobre este tema.
